Viskosität

Unter der Viskosität versteht man die „Zähigkeit“ einer Flüssigkeit oder eines Gases. Sie resultiert aus den zwischenmolekularen Kräften in einem Fluid, ist also abhängig von der Kohäsion zwischen den Molekülen oder Teilchen. Man spricht daher auch von der inneren Reibung. Bei Feststoffen verwendet man stattdessen die Begriffe der Duktilität, Sprödigkeit und Plastizität.

Der Begriff Viskosität leitet sich von dem lateinischen Wort für Mistel "viscum" her, aus deren Beeren ein zäher Vogelleim hergestellt wurde.

Viskosität von Flüssigkeiten

Spricht man von Viskosität, soll in der Regel das Fließverhalten einer Flüssigkeit charakterisiert werden. Je höher die Viskosität dabei ist, desto dickflüssiger ist die Substanz. Diesen Effekt kann man sich vereinfacht durch die Bewegung zweier übereinander liegender, verzahnter Molekülschichten vorstellen (siehe Abb. Punkt 1). Beim Fließen gleiten die Moleküle aneinander vorbei, und um die Verzahnung zu überwinden benötigt man eine gewisse Kraft. Den Zusammenhang zwischen dieser Kraft und den Eigenschaften des vorliegenden Fluids definiert die Viskosität. Erkennbar wird dieser Zusammenhang besonders gut an der homologen Reihe der Alkane (kettenförmige Kohlenwasserstoffen), hier steigt die Viskosität mit der Kettenlänge und damit den zunehmenden intermolekular wirkenden van-der-Waals-Kräften kontinuierlich an. Bei den mittleren Alkanen (ab Nonan, neun C-Atome) hat sie bereits einen Wert ähnlich dem von Wasser.

Modellvorstellung zur Viskosität, links der Geschwindigkeitsgradient (2) und rechts eine Veranschaulichung für die verzahnten Molekülschichten (1), weitere Erläuterungen siehe Text

Sehr gut veranschaulichen kann man sich die Viskosität auch an folgendem Beispiel: gleitet Wind über das Wasser eines Ozeans, erzeugt dies eine Bewegung der Wasserschicht an der Oberfläche. Je tiefer man nun taucht, desto ruhiger wird das Wasser, bis man einen Punkt erreicht, wo keine Strömung herrscht. Die einzelnen Flüssigkeitsschichten bewegen sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit (Korkenzieherströmung), es entsteht ein Geschwindigkeitsgradient (siehe Abb. Punkt 2):

$\frac{dv}{dy}$

Weht kein Wind mehr, bricht die Strömung zusammen, das Wasser ruht auch wieder an der Oberfläche. Dass die Flüssigkeit auch in tieferen Schichten trotz Wind an der Oberfläche praktisch ruht, ist Folge der inneren Reibung in der Flüssigkeit.

Die Viskosität der meisten Flüssigkeiten nimmt mit steigender Temperatur ab, oft ist sie proportional zu folgendem Term:

$e^{\frac{A}{T}}$

Wobei $A$ eine flüssigkeitsspezifische Konstante und $T$ die Temperatur ist.

Definition der Viskosität

Flüssigkeitsschichten beim Gedankenexperiment zur Viskosität

Man stelle sich zwei im Abstand x angeordnete Platten der Fläche A vor. Zwischen diesen Platten befindet sich eine Flüssigkeit, die an beiden Platten haftet. In unserer Vorstellung soll der Raum mit der Flüssigkeit in Schichten unterteilt sein. Wird nun Platte 2 mit der Geschwindigkeit v bewegt, so bewegt sich die Schicht, in unmittelbarer Nachbarschaft zu Platte 2 auf Grund der Haftung ebenfallfs mit der Geschwindigkeit v. Da Platte 1 ruht, ruht auch ihre Nachbarschicht. Die innenliegenden Flüssigkeitsschichten gleiten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aneinander vorbei. Die Geschwindigkeit nimmt von der ruhenden Platte zur bewegten zu. Im einfachsten Fall besteht eine lineare Abhängigkeit (siehe Abbildung). Von der obersten, an der Platte haftenden Schicht, geht eine Tangentialkraft auf die darunterliegende Schicht aus. Diese bewegt sich folglich mit der Geschwindigkeit v₁. Diese Schicht wirkt wiederum auf die darunterliegende Schicht und bewegt sie mit der Geschwindigkeit v₂.

Im Experiment lässt sich zeigen, dass die Kraft F, die nötig ist, um Platte 2 zu bewegen direkt proportional zu ihrer Fläche A, ihrer Geschwindigkeit v und antiproportional zu dem Abstand der Platten x ist:

$F \sim A$ und $F \sim v$ und $F \sim \frac{1}{x}.$

Hieraus ergibt sich

$F\sim\frac{Av}{x}$

und als Gleichung

$F= \eta\frac{Av}{x}.$

Die Proportionalitätskonstante $η$ ist die dynamische Viskosität. Häufig wird sie auch nur als Viskosität bezeichnet. Ein Stoff hat also die Viskosität 1 Ns/m², wenn bei einer Größe der Platten von 1 m² und einem Plattenabstand von 1 m eine Kraft von 1 N benötigt wird, um die Platten mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s gegeneinander zu verschieben.

Für die physikalische Einheit gilt: $1{\rm N}=[\eta] \cdot\left(\frac{{\rm m}^2\,{\rm m}}{{\rm m}\,{\rm s}}\right) \Rightarrow [\eta] = \frac{{\rm N}\,{\rm s}}{{\rm m}^2}.$

Ist $η$ unabhängig von der Geschwindigkeit v, so wird die Flüssigkeit als Newtonsche Flüssigkeit bezeichnet. Für diese Flüssigkeiten stellte sich das in Abbildung 2 gezeigte, lineare Geschwindigkeitsprofil ein. Ist $η$ nicht von v unabhängig, so bezeichnet man die Flüssigkeit als nicht-Newtonsch.

Newtonsche Flüssigkeiten

Im folgenden wird der vereinfachte Zusammenhang gemäß dem Newtonschen Viskositätsgesetz dargestellt, es wird dabei stets laminare Strömung sowie Temperatur- und Druckunabhängigkeit der Flüssigkeitseigenschaften angenommen. Außerdem unterstellte Newton eine lineare Abhängigkeit des oben erläuterten Geschwindigkeitsgradienten, der auch Schergefälle $\dot\gamma$ (manchmal auch mit $D$ bezeichnet) genannt wird:

$\dot\gamma = \frac{dv}{dy}$

Schubspannungs-Schergeschwindigkeits Diagramm:
1: dilatantes Fluid
2: Newtonsche Fluid
3: Scherverdünnendes (pseudoplastisches) Fluid
4: Bingham-plastisches Fluid
5: Casson-plastisches Fluid

Verknüpft man dies mit der Schubspannung, erhält man folgenden Zusammenhang für die dynamische Viskosität:

$\tau=\eta \cdot \frac{dv}{dy} \Rightarrow \eta = \frac{\tau}{\dot\gamma}$

Die Schubspannung $τ$ ergibt sich aus der die Strömung bewirkenden Kraft bezogen auf die betroffene Angriffsfläche, die sich mit maximaler Geschwindigkeit bewegt. $η$ wird bei Newtonschen Flüssigkeiten als Konstante angesehen. Viele Substanzen folgen diesem Gesetz jedoch nicht. Dabei unterscheidet man verschiedene Arten der Abweichung:

Strukturviskosität / Dilatanz, dabei ist die Viskosität $η$ keine Konstante, sondern ändert sich mit dem Schergefälle $\dot\gamma$
Thixotropie / Rheopexie, hierbei zeigen sich zeitabhängige Strukturveränderungen, so dass je nach Zeitdauer seit der letzten Fließbewegung andere Viskositätswerte zu finden sind
Fließgrenze, es muss erst eine gewisse Mindestschubspannung vorhanden sein, um ein Fließen zu erreichen (plastisches Fließen). Diese Art Fluid wird auch als Bingham-Fluid bezeichnet.

Derartige Fluide bezeichnet man als Nichtnewtonsche Fluide.

Im allgemeinen Fall muss das Schergefälle $\dot\gamma$ aus dem Schwerwinkel in der Flüssigkeit berechnet werden und nicht über den Geschwindigkeitsgradienten.

Darüber hinaus wird das Verhältnis zwischen der dynamischen Viskosität $η$ und der Dichte $ρ$ definiert als kinematische Viskosität:

$\nu = \frac{\eta}{\rho}$

SI-Einheit

Die SI-Einheit der

dynamischen Viskosität: $[\eta] = \frac{\rm kg}{\rm m \cdot s} = {\rm Pa} \cdot {\rm s} = \frac{\rm Ns}{\rm m^2}$

kinematischen Viskosität: $[\nu] = \frac{\rm m^2}{\rm s}$

Im CGS-System wird für die dynamische Viskosität Poise* (P) verwendet, 10 P = 1 Pa s, für die kinematische Viskosität das Stokes (St), 1 m²/s = 10⁴ St.

*Das Poise (P) ist eine nichtgesetzliche Einheit der dynamischen Viskosität, benannt nach dem französischen Physiker und Mediziner Jean Louis Marie Poiseuille.

Typische Viskositätswerte

(η in [mPa s] bei 20 °C)

Petroleum          0,65        Pentan     0,232         Olivenöl          ~ 10²             
Wasser             1,0         Hexan      0,320         Honig             ~ 10⁴             
Quecksilber        1,5         Heptan     0,410         Sirup             ~ 10⁵             
Traubensaft        2-5         Oktan      0,538         Polymerschmelzen  ~ 10³ bis 10⁶       
Blut (37 °C)      4-25         Nonan      0,710         Bitumen           ~ 10¹¹            
Kaffeesahne        ~10         Dekan      0,920         Glas (fest)       ~ 10²³            
Paraffinöl     110–230         Ethanol    1,19          Glas (Verarbeitungstemp.)  ~ 10² bis 10⁴
Glycerin (rein)   1480
Asphalt         100000

Viskosität von Gasen

Auch für Gase lässt sich eine Viskosität definieren:

$\eta = \frac{1}{3}\,n\,m\,v\,l$ , mit der freien Weglänge

l

für die Gasteilchen, der Masse der Gasteilchen

m

, der mittleren Teilchengeschwindigkeit

v

und der Teilchenzahldichte

n

Die Viskosität von Gasen ist unabhängig vom Druck. Dies gilt solange, wie die freie Weglänge klein gegenüber den Gefäßabmessungen und groß gegenüber den Molekülabmessungen ist. Mit anderen Worten: für ein sehr dünnes oder ein sehr dichtes Gas wird die Viskosität doch wieder vom Druck beziehungsweise der Dichte des Gases abhängig. Grundsätzlich abhängig ist die Viskosität aber von der Temperatur, da hier $v$ mit der Temperatur zunimmt. Dieses Verhalten ist bei den meisten Flüssigkeiten genau entgegengesetzt. Für Luft liegen die Grenzen in der Größenordnung von einigen mm bis zu cm (zum Beispiel Lungenautomat beim Tauchen) und 0,4 nm (Moleküldurchmesser). Die folgende Tabelle listet zu einigen Gasen die Viskositäten und freien Weglängen auf.

Viskosität von Luft in Abhängigkeit von der Temperatur

Gas	η (273 K) in µPa·s	l (1 atm) in nm
Luft	17,1	59,8
Sauerstoff (O₂)	19,2	63,3
Kohlendioxid (CO₂)	13,8	39,0
Stickstoff (N₂)	16,6	58,8
Argon	21,0	62,6
Neon	29,7	124,0
Helium	18,6	174,0
Wasserstoff (H₂)	8,4	111,0

Die Abnahme der Viskosität mit der Temperatur nutzt man bei Experimenten in Windkanälen. Die Verkleinerung der Messmodelle reduziert die Reynolds-Zahl*, die sich durch Kühlung kompensieren lässt.

*Die Reynolds-Zahl (Formelzeichen: $Re$ ) ist eine nach dem Physiker Osborne Reynolds benannte dimensionslose Kennzahl. Sie wird in der Strömungslehre verwendet und stellt das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften dar. Für eine ideale Flüssigkeit ohne Viskosität ist das Verhältnis unendlich.

Kinetische Gastheorie

Nach Hirschfelder kann die Viskosität reiner Gase mit Hilfe der kinetischen Gastheorie* in einem großen Temperaturbereich (etwa von 200 bis 3000 Kelvin) berechnet werden.

$\eta = \frac{5 \sqrt{\pi m k_{B} T}}{16 \pi \sigma^{2} \Omega^{(2,2)^{\star}}}$

Hierbei ist $m$ die Molekülmasse, $k B$ die Boltzmann-Konstante**, $T$ die Temperatur, $σ$ der Lennard-Jones-Stoßdurchmesser und $\Omega^{(2,2)^{\star}}$ das reduzierte Stoßintegral, dass von reduzierten Temperatur $T^{\star} = k_{B} T / \epsilon$ abhängt. $ε$ ist die Energie des Lennard-Jones-Potenzials. Werte für die Lennard-Jones-Parameter und das reduzierte Stoßintegral sind in Lienhards Lehrbuch zur Wärmeübertragung in Kapitel 11 aufgeführt.

*Die Kinetische Gastheorie ist ein Teilgebiet der statistischen Mechanik. Sie erklärt die Gasgesetze und die Eigenschaften von Gasen durch Bewegungsvorgänge ihrer Teilchen. Die Kinetische Theorie offeriert eine Erklärung der mikroskopischen Eigenschaften von Temperatur und Wärme, wohingegen die Thermodynamik deren makroskopischen Eigenschaften untersucht.

**Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen: k_B oder k) ist die fundamentale Umrechnungskonstante zwischen Temperaturen und thermischen Energien. Sie ist benannt nach Ludwig Boltzmann und nicht zu verwechseln mit der Stefan-Boltzmann-Konstante.

Fluidität

Der Kehrwert der Viskosität ist die Fluidität $η - 1$ mit der Einheit $[\eta^{-1}]=\frac{\rm m \cdot s}{\rm kg}$ .